Mywayプラス株式会社

　株式会社プリンシパルテクノロジー 大羽 規夫 様からの投稿です。　

はじめに

コイル間の磁気結合（相互誘導）を応用したワイヤレス給電では、受電コイルが複数ある場合や中継コイルを用いる場合において、３つ以上のコイル間の結合を考える必要があります。
コイルが２つであれば、一般的な教科書で解説されている相互誘導のシンプルな理論式やＴ型等価回路などで比較的簡単に扱うことができます。ところがコイルが３つ以上になると、どのような理論式や回路モデルで解析すればよいのかわからないという人が多いようです。
そこで、３つのコイルの磁気結合をどのように考えればよいのかについて、PSIMの磁気素子による磁気回路シミュレーションを使って解説します。

PSIMの磁気回路モデル

PSIMに付属しているサンプル回路【1-ph transformer in magnetic modeling block.sch】に、PSIMの磁気素子を使って作成した２巻線の磁気結合回路モデルがあります。

PSIMには、巻線・パス・コア・ギャップという磁気素子があり、これらを使って磁気回路のシミュレーションが可能です。各素子間の接続線は磁束の経路に相当し、２巻線の場合は次の３つの磁束経路があります。

• １次漏れ磁束経路
• ２次漏れ磁束経路
• １次－２次を貫通する磁束経路（結合経路）

それぞれの磁束経路には、パスやコアなどの磁気素子を使ってその磁束経路のパーミアンスを設定する必要があります。PSIMでは、このパーミアンスの値を図２のように「Inductance Factor」の欄に設定します。

このように、PSIMを使って磁気回路のシミュレーションが可能であり、説明に使った２巻線のサンプル回路では、磁気素子で作成した回路の特性と単相トランスを使った回路の特性とが完全に一致していることを確認することができます。

なぜコイルが３つになると回路モデル作成や理論解析が難しくなるのか

２巻線の場合、３個のインダクタンスで構成されるＴ型等価回路で解析できることは周知の通りですが、３巻線になると急に取り扱いが難しくなり、どのように解析すればよいのかを明確に解説している教科書もないようです。なぜコイルが１つ増えただけでそれほど難しくなるのか、その理由は磁束経路を考えればわかります。
２巻線の場合は磁束経路が３つであることは説明した通りですが、３巻線の磁束経路は次のようになります。

• １次漏れ磁束経路
• ２次漏れ磁束経路
• ３次漏れ磁束経路
• １次－２次を貫通する磁束経路
• ２次－３次を貫通する磁束経路
• １次－３次を貫通する磁束経路
• １次－２次－３次を貫通する磁束経路

このように、３巻線の場合は７つの磁束経路が考えられ、コイルが１つ増えただけで磁束経路が３つから７つへと２倍以上に増えます。
この磁束経路の増加が３巻線の取り扱いが急に難しくなる最大の理由です。

つまり、３巻線の磁気結合を扱うためには、まず磁束経路（磁気回路モデル）から考える必要があります。２巻線の場合には電気系のＴ型等価回路で扱っていたために、磁気回路の扱い方がよくわからないということも３巻線の理解を難しくしている理由かもしれません。
磁気系なんて考えたことがないという人は、磁気回路に慣れるために４巻線や５巻線の場合の磁束経路がいくつあるかを考えてみるのも良いかもしれません。

コイルが３つの場合の磁気回路モデル

３巻線の場合の７つの磁束経路をPSIMの磁気回路で表すと図３のようになります。
各コイルには磁束経路がそれぞれ４経路ずつあるため、PSIMの巻線素子をコイル毎に４直列に接続し、７つの磁束経路毎にパーミアンスを設定して磁気回路を構成しています。なお、コイル間を結合する磁束経路には、PSIMのギャップを使用していますが、パーミアンスを設定できればよいのでパスやコアを使用してもかまいません。

【記号の意味】
• N1 :１次コイルの巻数 [Turn]
• N2 :２次コイルの巻数 [Turn]
• N3 :３次コイルの巻数 [Turn]
• Ap1 :１次漏れ磁束経路のパーミアンス [H]
• Ap2 :２次漏れ磁束経路のパーミアンス [H]
• Ap3 :３次漏れ磁束経路のパーミアンス [H]
• Ag12　:１次－２次を貫通する磁束経路のパーミアンス [H]
• Ag23　:２次－３次を貫通する磁束経路のパーミアンス [H]
• Ag31　:１次－３次を貫通する磁束経路のパーミアンス [H]
• Ag123 :１次－２次－３次を貫通する磁束経路のパーミアンス [H]

PSIMの相互誘導結合インダクタを用いた回路モデル

ここまで、３巻線の場合の磁気結合を磁気回路モデルで説明してきましたが、PSIMの相互誘導結合インダクタ（Coupled inductor）を使うと、
３つの自己インダクタンスと３つの相互インダクタンスで電気的に扱うことができます。

この３巻線相互誘導結合インダクタに設定するパラメータは

• L1 :１次コイルの自己インダクタンス [H]
• L2 :２次コイルの自己インダクタンス [H]
• L3 :３次コイルの自己インダクタンス [H]
• M12 :１次－２次間の相互インダクタンス [H]
• M23 :２次－３次間の相互インダクタンス [H]
• M31 :１次－３次間の相互インダクタンス [H]

となっており、各コイルの電圧と電流の関係は次式のようになります。

この電気系のインダクタンスは、磁気系のパーミアンスと巻数から次式によって求められます。

このようにして、磁気結合を電気系の自己インダクタンスと相互インダクタンスに置き換えて解析できるわけですが、
そのためには解析対象の磁気回路モデル（磁束経路とパーミアンス）を明確にしておく必要があります。

コイルが３つの場合はΔＹ型等価回路

すでに述べたように、単相トランスのような２巻線の磁気結合はＴ型等価回路を使って解析されることが多いです。このＴ型をπ型の等価回路へ変換することも可能ですが、
いずれにしても３つのインダクタンスでその回路特性を規定することができます。
では、３巻線の場合はどうなるかというと、６つのインダクタンスで構成されるΔＹ型等価回路で解析することができます。（※参考文献参照）
PSIMでこのΔＹ等価回路を作成すると図５のようになります。

６つのインダクタンスは、自己インダクタンスと相互インダクタンスに基づいて次式のように表されます。

このように３巻線の場合でも２巻線と同様に磁気結合を電気的な等価回路に置き換えて解析することが可能ですが、このような複雑な変換式で扱わなければならない等価回路よりも、
パーミアンスを使った磁気回路で解析した方がわかりやすい場合も多いと思います。

シミュレーション結果の比較

コイルが３つの場合の磁気結合を解析するための回路モデルとして、次の３種類を説明しました。

• 磁気素子を用いた磁気回路
• 相互誘導結合インダクタを用いた回路
• ΔＹ型等価回路

次に、この３種類の回路を同時にシミュレーションするPSIM回路について説明します。

図６がシミュレーション回路ですが、１次巻線に接続される電源は直流成分を含む500Hzの矩形波電圧源であり、３種類の回路モデルに共通して接続されています。
２次巻線と３次巻線には負荷として抵抗が接続されており、その抵抗値も３種類の回路モデルで同じです。

シミュレーション結果を図７に示します。

上段が３つの巻線の両端電圧、中段が２次巻線と３次巻線の電流、下段が１次巻線の電流です。
各巻線の電圧と電流は、いずれの回路モデルにおいても波形に差異はなく完全に一致しており、３種類の回路モデルが同じ特性の等価回路であることがわかります。

まとめ

３つのコイルの磁気結合を解析するための３種類の回路モデルについて、PSIMを使って解説しました。
どの回路モデルでも理論解析やシミュレーションは可能ですが、やはり磁気結合を扱うのであれば磁気回路モデルで考えるのが基本です。
ぜひ、磁気回路の解析や設計検討にPSIMの磁気回路シミュレーションを使ってみてください。

シミュレーション回路ファイルは下記よりダウンロードできます。

作成バージョン：11.1.3 ※Ver.11.1.3以上の製品版もしくはトライアル版で動作が可能です。 　デモ版は素子数制限を超えていますので、実行できません。 トライアル版のダウンロードはこちらからお申し込みください。

※参考文献
小林涼太,太田裕介,金子裕良：「中継コイルを用いた非接触給電システムの回路特性解析」,電気学会産業応用部門大会講演論文集,1-35,(2015年)